Question

1．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（2，4），点C在x轴的正半轴上，且∠BCO=45°，连接OB．动点Q以每秒1个单位长度的速度，从点B沿折线B-A-O向点O运动．同时动点P以相同的速度，从点O沿线段OC向点C运动．过点P作直线PM⊥OC，与折线O-B-C相交于点M．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为t（秒）．
（1）求C点坐标；
（2）当点Q在AB上时，连接QM、CM．问：△BQM能否与△OCM相似？若能，请求出P点坐标；若不能，请说明理由．
（3）当点Q在OA上时，探究：四边形OPMQ的周长是否发生变化？若不变，求出其周长；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点B作BD⊥OC于D，构造直角三角形，求出点的坐标；
（2）由PM∥BD，得到△OPM∽△ODB，得到线段OP，PM的关系，当△BQM∽△OMC时，对应边成比例，列方程求得t的值；
（3）当点Q在OA上时，PM交BC于M，证出四边形OPMQ是矩形，求得矩形OPMQ的周长=2（6-t）+t+t=12是个定值，得到结论．

解答 解：（1）如图1过点B作BD⊥OC于D，
∵B（2，4），
∴OD=2，BD=4，
∵∠BCO=45°，
∴CD=BD=4，
∴OC=6，
∴（6，0）；

（2）能，
如图2∵PM∥BD，
∴△OPM∽△ODB，
∴$\frac{OP}{PM}$=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∵OB=$\sqrt{{BD}^{2}{+OD}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
当点Q在AB上时，
∵BQ=t，OP=t，
∴PM=2t，OM=$\sqrt{5}$t，BM=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t，
当△BQM∽△OMC时，
$\frac{BQ}{OM}$=$\frac{BM}{OC}$，∴$\frac{t}{\sqrt{5}t}$=$\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{5}t}{6}$，
∴t=$\frac{4}{5，}$，
∴当t=$\frac{4}{5}$时，△BQM∽△OCM；

（3）如图3当点Q在OA上时，PM交BC于M，
∵PM∥OA，OP=t，PC=6-t，
∵∠BCO=45°，
∴PM=6-t，OQ=4-（t-2）=6-t，
∴PM=OQ，
∴四边形OPMQ是矩形，
∴QM=OP=t，
∴矩形OPMQ的周长=2（6-t）+t+t=12是个定值，
∴当点Q在OA上时，四边形OPMQ的周长不会发生变化．

点评 本题考查了在平面直角坐标系中求点的坐标，相似三角形的判定和性质，动点问题，矩形的判定以及矩形的周长的求法，根据题意画出图形是解题的关键．