Question

19．如图，抛物线y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．经过A、B、C三点的圆与y轴的负半轴交于点D．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P使得PB+PD的值最小？如果存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若圆心为点Q，在平面内有一点E，使得以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．求出所有符合条件的E点坐标．

Answer 1

分析 （1）把x=0，y=0分别代入抛物线y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3，解方程即可求出A、B、C三点的坐标；
（2）存在，如图1，连接AD，BC，求得A与D的坐标，设直线AD的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AD的解析式，则可求得此时点P的坐标；
（3）由（1）和（2）可知A（-4，0），B（1，0），C（0，3），D（0，-$\frac{4}{3}$），进而可求出圆心的坐标为Q（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{6}$），再分两种情况：若PQ为平行四边形的边和若PQ为平行四边形的对角线分别讨论即可求出符合条件的E点坐标．

解答 解：
（1）∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∵当y=0时，-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3=0，
解得x=-4或1，
∴A（-4，0），B（1，0）；
（2）存在一点P使得PB+PD的值最小，理由如下：
如图1，连接AD，BC．
∵圆经过A、B、C、D四点，
∴∠ADO=∠CBO，
∵∠AOD=∠COB=90°，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac{OD}{OA}=\frac{OB}{OC}$，
由题意知，AO=4，BO=1，CO=3，
∴OD=$\frac{4}{3}$，
∴D（0，-$\frac{4}{3}$），
设AD的解析式为y=kx+b，
将A（-4，0），D（0，-$\frac{4}{3}$）代入解得
k=-$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{4}{3}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$，x-$\frac{4}{3}$，
由题意知，抛物线对称轴为x=-$\frac{3}{2}$
∵A、B关于x=-$\frac{3}{2}$对称，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，y=-$\frac{5}{6}$，即P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{6}$）时，PB+PD=PA+PD=PD最短．
（3）由（1）可知A（-4，0），B（1，0），C（0，3），
由（2）可知D（0，-$\frac{4}{3}$），
∴圆心的坐标为Q（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{6}$），
∴PQ=$\frac{5}{3}$，
若PQ为平行四边形的边，
∵PQ∥y轴，PQ=DE，
∴OE=$\frac{1}{3}$或3，
∴E₁（0，$\frac{1}{3}$）或者E₂（0，-3），
若PQ为平行四边形的对角线，
PQ的中点坐标为M（-$\frac{3}{2}$，0），
∴E₃（-3，$\frac{4}{3}$）．
综上可知以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时所有符合条件的E点坐标为（0，$\frac{1}{3}$）或（0，-3）或（-3，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合性题目，用到的知识点有：利用待定系数法求函数的解析式，函数和坐标轴的交点问题，相似三角形的判定和性质以及线段和最短问题等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是利用分类讨论与数形结合思想的灵活运用．