Question

3．问题背景
已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A、B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．
（1）初步尝试
如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．求证：HF=AH+CF．
小王同学发现可以由以下两种思路解决问题：
思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；
思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立．
请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；
（2）类比探究
如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是$\sqrt{3}$：1，求$\frac{AC}{HF}$的值；
（3）延伸拓展
如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记$\frac{BC}{AB}$=m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示$\frac{AC}{HF}$（直接写出结果，不必写解答过程）．

Answer 1

分析 （1）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证明△ADG是等边三角形，得出GD=AD=CE，再证明GH=AH，由ASA证明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出结论；
（2）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出AH=GH=GD，AD=$\sqrt{3}$GD，由题意AD=$\sqrt{3}$CE，得出GD=CE，再证明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出结论；
（3）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出 DG=DH=AH，再证明△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出 $\frac{DG}{AD}$=$\frac{BC}{AB}$=m，$\frac{GF}{CF}$=$\frac{DG}{CE}$=$\frac{DG}{AD}$=m，△DGH∽△ABC，得出 $\frac{GH}{DG}$=$\frac{BC}{AB}$=m，$\frac{GH}{AH}$=m，证明△DFG∽△EFC，得出 $\frac{GF}{FC}$=$\frac{DG}{CE}$=m，$\frac{GH+GF}{AH+FC}$=m，$\frac{AH+FC}{HF}$=$\frac{1}{m}$，即可得出结果．

解答 （1）证明（选择思路一）：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1所示：
则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∴∠ADG=∠AGD=∠A，
∴△ADG是等边三角形，
∴GD=AD=CE，
∵DH⊥AC，
∴GH=AH，
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，
在△GDF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDF=∠CEF}\\{GD=CE}\\{∠DGF=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GF=CF，
∴GH+GF=AH+CF，
即HF=AH+CF；
（2）解：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2所示：
则∠ADG=∠B=90°，
∵∠BAC=∠ADH=30°，
∴∠HGD=∠HDG=60°，
∴AH=GH=GD，AD=$\sqrt{3}$GD，
根据题意得：AD=$\sqrt{3}$CE，
∴GD=CE，
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，
在△GDF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDF=∠CEF}\\{GD=CE}\\{∠DGF=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GF=CF，
∴GH+GF=AH+CF，
即HF=AH+CF，
∴$\frac{AC}{HF}$=2；
（3）解：$\frac{AC}{HF}$=$\frac{m+1}{m}$，理由如下：
过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图3所示：
则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，AD=EC，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，
∵∠ADH=∠BAC=36°，
∴AH=GH，∠DHG=72°=∠AGD，
∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，
∴$\frac{DG}{AD}$=$\frac{BC}{AB}$=m，$\frac{GF}{CF}$=$\frac{DG}{CE}$=$\frac{DG}{AD}$=m，
∴△DGH∽△ABC，
∴$\frac{GH}{DG}$=$\frac{BC}{AB}$=m，
∴$\frac{GH}{AH}$=m，
∵DG∥BC，
∴△DFG∽△EFC，
∴$\frac{GF}{FC}$=$\frac{DG}{CE}$=m，
∴$\frac{GH+GF}{AH+FC}$=m，
即 $\frac{HF}{AH+FC}$=m，
∴$\frac{AH+FC}{HF}$=$\frac{1}{m}$，
∴$\frac{AC}{HF}$=$\frac{AH+FC+HF}{HF}$=$\frac{1}{m}$+1=$\frac{m+1}{m}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等或三角形相似才能得出结果．