Question

18．若以△ABC的两边AB、BC为边分别向外作等腰直角△ABE和等腰直角BCH，连接AH、CE交于O点，取EH的中点N，连NB交AC于M．求证：
（1）AH=CE；
（2）AH⊥CE；
（3）NM⊥AC．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到AB=BE，BC=BH，∠ABE=∠CBH=90°，求得∠ABH=∠EBC，推出△ABH≌△EBC，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAH=∠CEB，推出A，G，B，E四点共圆，根据圆周角定理得到∠AGE=∠ABE=90°，即可得到结论；
（3）延长BN到F使FN=BN，根据已知条件得到△BEN≌△HFN，根据全等三角形的性质得到HF=BE，∠1=∠F，推出∠ABC=∠BHF，通过△ABC≌△BHF，得到∠BAC=∠F，等量代换即可得到即可．

解答 证明：（1）∵△ABE与△BCH是等腰直角三角形，
∴AB=BE，BC=BH，∠ABE=∠CBH=90°，
∴∠ABH=∠EBC，
在△ABH与△EBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABH=∠EBC}\\{BH=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△EBC，
∴AH=CE；

（2）∵△ABH≌△EBC，
∴∠BAH=∠CEB，
∴A，G，B，E四点共圆，
∴∠AGE=∠ABE=90°，
∴AH⊥CE；

（3）延长BN到F使FN=BN，
在△BEN与△HFN中，$\left\{\begin{array}{l}{EN=HN}\\{∠ENB=∠HNF}\\{BN=FN}\end{array}\right.$，
∴△BEN≌△HFN，
∴HF=BE，∠1=∠F，
∵∠ABC=180°-∠EBH=180°-∠1-∠HBN，
∠FHB=180°-∠F-∠FBH，
∴∠ABC=∠BHF，
∵AB=BE，
∴AB=HF，在△ABC与△BHF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=HF}\\{∠ABC=∠BHF}\\{BC=BH}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BHF，
∴∠BAC=∠F，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BAM+∠2=90°，
∴∠AMB=90°，
∴NM⊥AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．