Question

12．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D在劣弧AC上，∠ABD=45°．
（1）如图1，BD交AC于E，连CD，若AB=BD，求证：CD=$\sqrt{2}$DE；
（2）如图2，连AD、CD，已知tan∠CAD=$\frac{1}{5}$，求sin∠BDC．

Answer 1

分析 （1）根据AB=AC，AB=BD得AC=BD，利用圆周角定理，得弧相等，∠ACD=∠ABD=45°，△EDC为等腰直角三角形，得证；
（2）作辅助线，构建直角三角形，利用边角关系与已知条件，得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，AB=BD，
∴AC=BD，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，
∴$\widehat{BC}=\widehat{AD}$，
∴∠BDC=∠ABD=45°，
∵∠ACD=∠ABD=45°，
∴△EDC为等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$DE；

（2）解：做DG⊥AC于G，作ON⊥AC于N，延长AO交BC于M，
tan∠CAD=$\frac{DG}{AG}=\frac{1}{5}$，
令DG=GC=1，AG=5，
∴AC=6，AD=$\sqrt{26}$，
∴$OA=\frac{\sqrt{2}}{2}AD$=$\sqrt{13}$，OC=$\sqrt{13}$，
∵ON⊥AC，
∴$AN=\frac{1}{2}AC=3$，
∵$\frac{AN}{AM}=\frac{OA}{AC}$，
∴$AM=\frac{18}{13}\sqrt{13}$，
∵OM=AM-OA=$\frac{5}{13}\sqrt{13}$，MC=$\frac{12}{13}\sqrt{13}$，
∴sin∠BDC=sin∠MOC=$\frac{MC}{OC}$=$\frac{12}{13}$．

点评 本题主要考查了圆周角定理和解直角三角形，熟练运用圆周角定理，构建直角三角形是解此题的关键．