Question

4．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点B、A、D在同一条直线上，连接BE、CD，F、P分别为BE、CD的中点，连接AF、AP、PF．
（1）求证：BE=CD；
（2）求证：△APF是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=∠DAE，等式左右两边都加上∠CAE，得到一对角相等，再由AB=AC，AF为公共边，利用SAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等可得出BE=CD；
（2）由M与N分别为BE，CD的中点，且BE=CD，可得出FE=PD，由三角形ABE与三角形ACD全等，得到对应边AE=AD，对应角∠AEB=∠ADC，利用SAS可得出三角形AFE与三角形APD全等，利用全等三角形的对应边相等可得出AF=AP，即三角形AFP为等腰三角形．

解答 证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD；

（2）∵F、P分别为BE、CD的中点，且BE=CD，
∴FE=PD，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEF=∠ADC，AE=AD，
在△AEF和△ADN中，$\left\{\begin{array}{l}{FE=PD}\\{∠AEF=∠ADP}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ADP（SAS），
∴AF=AP，即△AFP为等腰三角形．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．