Question

20．如图，在△ABC中，M是AB的中点，过M的直线交BC于E，过A作AP∥BC交ME于P，过M作FM⊥PE，交AC于F
（1）求证：AP=BE；
（2）求证：FP=FE；
（3）请你判断AF+BE与EF的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据M是AB的中点，得到MA=MB，由AP∥BC，得到∠PAM=∠B，证明△APM≌△BEM（ASA），即可得到AP=BE．
（2）由△APM≌△BEM（ASA），得到MP=ME，由FM⊥PE，得到∠FMP=∠FME=90°，证明△FMP≌△FME，即可得到FP=FE．
（3）由AP=BE，所以AF+BE=AF+AP，在△AFP中，两边之和大于第三边，得到AF+AP＞PF，根据FP=FE，所以AF+AP＞EF，即可得到AF+BE＞EF．

解答 解：（1）∵M是AB的中点，
∴MA=MB，
∵AP∥BC，
∴∠PAM=∠B，
在△APM和△BEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAM=∠B}\\{MA=MB}\\{∠AMP=∠BME}\end{array}\right.$
∴△APM≌△BEM（ASA），
∴AP=BE．
（2）∵△APM≌△BEM（ASA），
∴MP=ME，
∵FM⊥PE，
∴∠FMP=∠FME=90°，
在△FMP和△FME中，
$\left\{\begin{array}{l}{MP=ME}\\{∠FMP=∠FME}\\{FM=FM}\end{array}\right.$
∴△FMP≌△FME，
∴FP=FE．
（3）∵AP=BE，
∴AF+BE=AF+AP，
∵在△AFP中，两边之和大于第三边，
∴AF+AP＞PF，
∵FP=FE，
∴AF+AP＞EF，
∴AF+BE＞EF．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的两边之和大于第三边，解决本题的关键是证明△APM≌△BEM，△FMP≌△FME．