Question

4．已知四边形ABCD是正方形，△AEF是等腰直角三角形，∠AFE=90°，点M是CE的中点，连接DM
（1）如图1，当点E、F分别在AD、AC上时，若AD=4，EF=$\sqrt{2}$，求DM的长；
（2）如图2，当点E在BA延长线上时，连接DF，FM，求证：DM=FM，DM⊥FM；
（3）如图3，当点E不在BA延长线上且点F在DE上时，过点A作AG⊥EC，垂足为G，连接FM，试探究DM与FM的关系．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质直接求解；
（2）先判断△FEM≌△HCM，再判断出△DFA≌△DHC，最后得到△FDH是等腰直角三角形，即可；
（3）作出辅助线．同（2）的方法可证．

解答 解：（1）∵△AEF为等腰直角三角形，EF=$\sqrt{2}$，
∴AF=$\sqrt{2}$，AE=2，
∴DE=2，
由正方形ABCD得，DC=AD=4，
∴EC=2$\sqrt{5}$，
∵M为CE中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$EC=$\sqrt{5}$，
（2）如图2，

延长FM交AC于H，连接DH，
∵∠FEA=∠CAB=45°，
∴EF∥AC，
∴∠FEM=∠MCH，
在△FEM和△HCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEM=∠MCH}\\{EM=CM}\\{∠FME=∠CMH}\end{array}\right.$，
∴△FEM≌△HCM，
∴EF=CH=AF，FM=MH
∵AD=CD，
∴∠FAD=90°-45°=45°=∠DCH，
∴△DFA≌△DHC，
∴DF=DH，∠FDA=∠HDC，
∴∠FDH=90°，
∴△FDH是等腰直角三角形，
∵FM=HM．
∴DM⊥FM，DM=FM；
（3）如图3，

延长FM至H，使MH=FM，连接CH，
由（2）由△EFM≌△CHM，
∴EF=CH=AF，∠FEM=∠MCH，
∴CH?∥EF，
∴∠DCH+∠CDF=180°，
∴∠DCH+90°+∠ADF=180°，
∴∠DCH+∠ADF=90°，
∵∠ADF+∠FAD=90°，
∴∠DCH=∠FAD，
∵AD=CD，
∴△AFD≌△CHD，
∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，
∴FDH=90°，
∴△FDH为等腰直角三角形，
∵FM=MH，
∴DM⊥FM，DM=$\frac{1}{2}$FH=FM．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的直线和判定，解本题的关键是证明△FDH为等腰直角三角形．