Question

如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB=90?，点C是

AB

上异于点A、B的一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作OF⊥DE于点F，点M为线段OD上一动点，联结MF，过点F作NF⊥MF，交OA于点N．
（1）当tan∠MOF=

1

3

时，求

OM

NE

的值；
（2）设OM=x，ON=y，当

OM

OD

=

1

2

时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）在（2）的条件下，联结CF，当△ECF与△OFN相似时，求OD的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）在直角三角形中由OF²=DF•FE和tan∠MOF=

1

3

，得出DF=

1

3

OF，所以OF²=

1

3

OF•FE，即

OF

FE

=

1

3

，再由△OMF∽△ENF，得出

OM

NE

=

1

3

，
（2）连接MN，设OM=x，ON=y，△OFD是直角三角形，由已知得出OM=MD=MF=x，因为∠MON=∠MFN=90°，得出MN是∠ONE的角平分线，MN是OF的中垂线，求出∠NEF=∠NFE，
得出ON=NE=NF=y，在RT△DOE中，运用勾股定理OD²+OE²=DE²，求得（2x）²+（2y）²=4²，即y²=4-x²（0＜x≤2），
（3）分两种情况①由△ECF∽△OFN，得出

OF

ON

=

EC

EF

，利用△DOE的面积，

1

2

OE•OD=

1

2

DE•OF解得，OF=xy，求出EF，由（2）y²=4-x²得出

xy

y

=

2x

y2

解得，y=

2

，再求出x=

2

，所以OD=2x=2

2

②由△ECF∽△ONF，得OD=

4 3

3

．

解答：
解；（1）如图1，∵∠AOB=90?，CE⊥OA，CD⊥OB，
∴四边形ACDO是矩形，
∴DE=OC=4，
∵OF⊥DE，
∴OF²=DF•FE
∵tan∠MOF=

1

3

，
∴

DF

OF

=

1

3

，即DF=

1

3

OF，
∴OF²=

1

3

OF•FE，即

OF

FE

=

1

3

，
∵∠MFO+∠OFN=∠NFE+∠OFN=90°，
∴∠MFO=∠NFE，
∵∠MOF+∠ODE=∠NEF+∠ODE=90°，
∴∠MOF=∠NEF，
∴△OMF∽△ENF，
∴

OM

NE

=

OF

EF

=

1

3

，即

OM

NE

=

1

3

，
（2）如图2，连接MN，

设OM=x，ON=y，
∵

OM

OD

=

1

2

，即OD=2OM，△OFD是直角三角形，
∴OM=MD=MF=x，
∵∠MON=∠MFN=90°，
∴MN是∠ONF的角平分线，
∴MN是OF的中垂线，
∴ON=NF，可得∠FON=∠NFO
∵∠FON+∠NEF=∠NFO+∠NFE，
∴∠NEF=∠NFE，
∴ON=NE=NF=y，
∵DE=OC=4，
在RT△DOE中，OD²+OE²=DE²
∴（2x）²+（2y）²=4²，即y²=4-x²（0＜x≤2），
（3）如图3，

①∵△ECF∽△OFN
∴

OF

ON

=

EC

EF

，
利用△DOE的面积，

1

2

OE•OD=

1

2

DE•OF
∵OD=2x，OE=2y，DE=4，
∴

1

2

×2y×2x=

1

2

×4•OF，
解得，OF=xy，
∵OE=2y，
∴EF=

OE2-OF2

=

4y2-(xy)2

=y

4-x2

，
由（2）y²=4-x²
∴EF=y²，
∵CE=OD=2x，
∴

xy

y

=

2x

y2

解得，y=

2

，
代入x²+y²=4，得x=

2

，
∴OD=2x=2

2

．
②∵△ECF∽△ONF
∴

EC

ON

=

EF

OF

，
利用△DOE的面积，

1

2

OE•OD=

1

2

DE•OF
∵OD=2x，OE=2y，DE=4，
∴

1

2

×2y×2x=

1

2

×4•OF，
解得，OF=xy，
∵OE=2y，
∴EF=

OE2-OF2

=

4y2-(xy)2

=y

4-x2

，
由（2）y²=4-x²
∴EF=y²，
∵CE=OD=2x，
∴

2x

y

=

y2

xy

，
解得，y=

2

x，
代入x²+y²=4，得x=

2 3

3

，
∴OD=2x=

4 3

3

．
综上所述OD的长为2

2

或

4 3

3

．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解本题关键是把圆的知识和相似三角形的知识相结合求解．