Question

如图，已知半径为2的⊙O与直线x相切于点A，点P 是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线x的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．
（1）求证：△PCA∽△APB；
（2）当x=

2

5

时，求弦PA、PB的长度；
（3）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用切线的性质以及平行线的性质进而得出，∠CPA=∠PAB以及∠PCA=∠APB=90°，即可得出答案；
（2）利用切线的性质以及勾股定理得出PA，PB的长；
（3）首先得出四边形OACE为矩形，进而得出PD•CD=2（x-2）•（4-x），进而求出最值．

解答：（1）证明：∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，
∴AB⊥l，
又∵PC⊥l，
∴AB∥PC，
∴∠CPA=∠PAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
又∵PC⊥l，
∴∠PCA=∠APB=90°，
∴△PCA∽△APB；

（2）解：∵△PCA∽△APB
∴

PC

AP

=

PA

AB

，
即 PA²=PC•AB，
∵PC=

5

2

，AB=4，
∴PA=

5 2 ×4

=

10

，
∴Rt△APB中，AB=4，PA=

10

由勾股定理得：PB=

16-10

=

6

；

（3）解：过O作OE⊥PD，垂足为E，
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，
∴PE=ED，
又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，
∴四边形OACE为矩形，
∴CE=OA=2，
又∵PC=x，
∴PE=ED=PC-CE=x-2，PD=2（x-2），
∴CD=PC-PD=x-2（x-2）=4-x，
∴PD•CD=2（x-2）•（4-x）=-2x²+12x-16=-2（x-3）²+2    
∵2＜x＜4，
∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理以及切线的性质和相似三角形的判定与性质等知识，表示出PD，CD的长是解题关键．