如图.已知△ABC.△HMB.△BDG均为等边三角形.其中点C.D.H.M在x轴上.点B在y轴上.过点G作GF⊥直线HB于点F.过点A作AE⊥直线MB于点E．(1)当点A与点G重合于y轴时.如图1.则GF=AE.∠EGF=120°．(2)如图2．①判断GF与AE的大小关系.并证明,②已知点C用含b.c.d的式子表示S△AEB+S△BFG,③若直线AE与直线FG相交所夹的较� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．如图，已知△ABC，△HMB，△BDG均为等边三角形，其中点C，D，H，M在x轴上，点B在y轴上，过点G作GF⊥直线HB于点F，过点A作AE⊥直线MB于点E．
（1）当点A与点G重合于y轴时，如图1，则GF=AE（填“＜”“＞”或“=”），∠EGF=120°．
（2）如图2．
①判断GF与AE的大小关系，并证明；
②已知点C（c，0），D（d，0），B（0，b）用含b、c、d的式子表示S_△AEB+S_△BFG；
③若直线AE与直线FG相交所夹的较大角为α，请直接判断α是否会随着三个等边三角形（△ABC，△HMB，△BDG）的大小改变而改变．

分析（1）由条件可证明四边形ACBD为菱形，结合等边三角形的性质可证得GF=AE，并能求得∠EGF的大小；
（2）①根据条件可证明△AEB≌△BOC，可得AE=BO，同理可证GF=BO，可证得结论；
②利用①中的结论，可得S_△AEB+S_△BFG=S_△BCD，可求得结果；
③结合图形发现，α在四边形EBFM中，根据条件可求得∠EBF=60°，∠MEB=∠MFB=90°，由四边形内角和为360°可得结论．

解答解：（1）∵△ABC和△GBD都是等边三角形，
∴当A、G重合时，则有AC=AD，
∵BF⊥AC，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC，同理GE=$\frac{1}{2}$GD，
∴GE=AF，
又四边形ACBD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EGF=180°-∠ACB=120°，
故答案为：=；120；
（2）①GF=AE，证明如下：
∵△ABC、△HMB、△BDG均为等边三角形，
∴∠ABC=∠MBH=∠BHM=60°，AB=BC，
∴∠ABE+∠CBH=60°，
∵∠BCO+∠CBH=∠BHO=60°，
∴∠ABE=∠BCH，
∵AE⊥BM，
∴∠AEB=∠BOC=90°，
在△AEB和△BOC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BOC}\\{∠ABE=∠BCO}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△BOC（AAS），
∴AE=BO，
同理可证△BGF≌△DBO，可得FG=BO，
∴GF=AE；
②∵C（c，0），D（d，0），B（0，b），
∴OB=b，CD=d-c，
由①可知△AEB≌△BOC，△BGF≌△DBO，
∴S_△AEB+S_△BFG=S_△COB+S_△B0D=S_△BCD=$\frac{1}{2}$×CD×OB=$\frac{1}{2}$b（d-c）；
③如图3，在四边形EBFM中，
∵∠EBF=∠HBM=60°，∠MEB=∠MFB=90°，
∴α=∠EMF=360°-90°-90°-60°=120°；
∴α是不会随着三个等边三角形（△ABC，△HMB，△BDG）的大小改变而改变，始终是120°．