Question

3．如图，以AB为直径的⊙O与AF交于C点，过C作CE⊥BF，且CE与⊙O相切，过C作CD⊥AB交AB于M，AB=10，OM：BM=3：2．
（1）求证：AB=BF．
（2）求AF的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明BC是线段AF的垂直平分线即可解决问题；
（2）由△ACM∽△CBM，可得CM²=AM•BM=16，求出CM，在Rt△ACM中，求出AC即可解决问题；

解答 （1）证明：连接OC、BC．
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵BF⊥CE，
∴OC∥BF，
∵OA=BO，
∴AC=CF，
∵BA是直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AF，
∴BA=BF．

（2）∵AB=10，OM：BM=3：2，
∴OM=3，BM=2，AM=8，
∵CM⊥AB，
易知△ACM∽△CBM，可得CM²=AM•BM=16，
∴CM=4，
在Rt△ACM中，AC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AF=2AC=8$\sqrt{5}$．

点评 本题考查相似三角形的性质、勾股定理、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、切线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．