Question

5．如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN∥AB，MN=a，ON、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 如图，作OE⊥MN于E．根据切线的性质得O₁D为⊙O₁的半径，易得四边形OO₁DC为矩形，则OC=O₁D，再根据垂径定理得到AC=BC=$\frac{1}{2}$MN，在Rt△OEN中，利用勾股定理得到ON²-OE²=EN²=$\frac{1}{4}$a²，然后利用阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$S_⊙C-$\frac{1}{2}$S_⊙O进行计算．

解答 解：如图，
作OE⊥MN于E．
∵大半圆的弦AB与小半圆相切，
∴CD为⊙C的半径，
∴OC⊥MN，
又MN∥AB，
∴四边形DCOE为矩形，
∴OE=CD，
∵OE⊥MN，
∴ME=NE=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△OEN中，ON²-OE²=EN²=$\frac{1}{4}$a²，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$S_⊙C-$\frac{1}{2}$S_⊙O=$\frac{1}{2}$（π•ON²-π•CD²）=$\frac{1}{2}$π（ON²-OE²）=$\frac{π}{8}$a²．

点评 本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．