Question

12．如图，AD是△ABC斜边上的高，∠ABD平分线交AD于M，∠DAC的平分线交CD于N，求证：MN∥AC．

Answer 1

分析 连接EN，先证出AM=AE，再由ASA证明△ABG≌△NBG，得出AG=NG，证出四边形AMNE是平行四边形，得出对边平行即可．

解答 证明：连接EN，如图所示：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC．
∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．∵BE是∠ABC的平分线．∴∠ABM=∠EBD．∵∠AME=∠MAB+∠ABM，∠AEM=∠C+∠EBD，∴∠AME=∠AEM，∴AM=AE，∵AN是∠DAC的平分线，
∴AG⊥BE，MG=EG，∴∠AGB=∠NGB=90°，在△ABG和△NBG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠NBG}&{\;}\\{BG=BG}&{\;}\\{AGB=∠NGB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△NBG（ASA），
∴AG=NG，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE，
即MN∥AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；本题有一定难度，需要作辅助线证明三角形全等得出平行四边形才能得出结论．