Question

20．对于二次函数y=x²-2mx-3，有下列说法：
①如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m≥1；
②如果它的图象与x轴的两交点的距离是4，则m=±1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后的函数的最小值是-4，则m=-1；
④如果当x=1时的函数值与x=2013时的函数值相等，则当x=2014时的函数值为-3．
其中正确的说法是①②④．

Answer 1

分析 首先用m表示出二次函数图象的对称轴，然后结合图象的单调性即可对①作出判断；
用m表示出图象与x轴的两交点的距离，再解出m的值即可对②作出判断；
先把二次函数y=x²-2mx-3化为顶点坐标式，根据函数最小值为4即可求出m的值，进而对③作出判断；
先求出对称轴为x=1007，然后可知x=2014时的函数值与x=0值相等，据此对④作出判断．

解答 解：∵二次函数y=x²-2mx-3，
∴二次函数图象对称轴为x=m，
∵a=1＞0，
∴当x＜m时y随x增大而减小，
即如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m≥1，故①正确；
令y=x²-2mx-3=0，x₁+x₂=2m，x₁x₂=-3，
|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4m²+12=16，
解得m=±1，故②正确；
二次函数y=x²-2mx-3=（x-m）²-m²-3，
当图象向左平移3个单位后的函数的最小值是-4，
则-m²-3=-4，
解得m=±1，故③错误；
当x=1时的函数值与x=2013时的函数值相等，
则二次函数图象对称轴为x=1007，
则x=2014时的函数值与x=0值相等，
则当x=2014时的函数值为-3，故④正确；
故答案为①②④．

点评 本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是要掌握二次函数图象的对称轴，开口方向、函数的单调性等知识，此题难度不大．