已知:如图1.在△AOB中.OA=AB=$\sqrt{5}$.BO=2.点B在x轴上.直线l1:y=kx+3过点A.且与x轴.y轴分别交于点D.C.直线l2:y=ax与直线l1交于点P.且△DOP的面积为$\frac{15}{2}$．(1)求直线l1.l2的解析式,(2)如图2.直线l3∥y轴.与直线l1.x轴分别交于点M.Q.且直线l3与线段OA或线段OP交于点N．若点Q的横坐标为m.求△APN的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知：如图1，在△AOB中，OA=AB=$\sqrt{5}$，BO=2，点B在x轴上，直线l₁：y=kx+3（k为常数，且k≠0）过点A，且与x轴、y轴分别交于点D，C，直线l₂：y=ax（a为常数，且a＞0）与直线l₁交于点P，且△DOP的面积为$\frac{15}{2}$．
（1）求直线l₁，l₂的解析式；
（2）如图2，直线l₃∥y轴，与直线l₁，x轴分别交于点M，Q，且直线l₃与线段OA或线段OP交于点N．若点Q的横坐标为m（-1＜m＜2），求△APN的面积S关于m的函数关系式．

分析（1）首先求出点A的坐标，代入直线l₁的解析式求出k，再利用三角形的面积公式求出点P的纵坐标，可得点P坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图连接PN．分两种情形①当-1＜m≤0时．②当0＜m＜2时．分别求解即可．

解答解：（1）如图1中，作AM⊥OB于M．

∵AB=AO=$\sqrt{5}$，OB=2，AM⊥OB，
∴BM=OM=1，
在Rt△AOM中，AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=2，
∴A（-1，2），把A（-1，2）代入y=kx+3得到，2=-k+3，解得k=1，
∴直线l₁的解析式为y=x+3，
∴D（-3，0），设点P的坐标为（m，n），
由题意$\frac{1}{2}$×3×n=$\frac{15}{2}$，
解得n=5，
∴m+3=5，
解得m=2，
∴P（2，5），把P（2，5）代入y=ax，得到5=2a．解得a=$\frac{5}{2}$，
∴直线l₂的解析式为y=$\frac{5}{2}$x．

（2）如图连接PN．

①当-1＜m≤0时，M（m，m+3），
∵直线OA的解析式为y=-2x，
∴N（m，-2m），
∴S=$\frac{1}{2}$•MN•（P_x-A_x）=$\frac{1}{2}$•（m+3+2m）•3=$\frac{9}{2}$m+$\frac{9}{2}$，
②当0＜m＜2时，N（m，$\frac{5}{2}$m），M（m，m+3），
∴S=$\frac{1}{2}$•MN•（P_x-A_x）=$\frac{1}{2}$•（m+3-$\frac{5}{2}$m）•3=-$\frac{9}{2}$m+$\frac{9}{2}$，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}m+\frac{9}{2}}&{（-1＜m≤0）}\\{-\frac{9}{2}m+\frac{9}{2}}&{（0＜m＜2）}\end{array}\right.$．

点评本题考查一次函数综合题、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数表示有关线段，灵活应用三角形的面积公式，属于中考压轴题．

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