Question

14．如图，AB分别是⊙O的直径，AC是弦，DC是⊙O的切线，C为切点，AD⊥DC于点D．
（1）已知∠ACD=a，求∠AOC的大小；
（2）求证：AC²=AB•AD．

Answer 1

分析 （1）由CD是⊙O的切线得到∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，利用OC=OA得到∠ACO=∠CAO，然后利用三角形的内角和即可证明题目的结论；
（2）如图，连接BC．由AB是直径得到∠ACB=90°，然后利用已知条件可以证明在Rt△ACD∽Rt△ABC，接着利用相似三角形的性质即可解决问题．

解答 证明：（1）∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°，①
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，
两边除以2得：$\frac{1}{2}$∠AOC+∠ACO=90°，②
由①，②，得：∠ACD-$\frac{1}{2}$∠AOC=0，
即∠AOC=2∠ACD=2α；

（2）如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACD与Rt△ABC中，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即AC²=AB•AD，

点评 本题考查了圆的切线性质，及相似三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．