Question

12．如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移k个单位到△A′B′D′的位置，得到图2，则下列说法：①阴影部分的周长为4；②当k=1时，图中阴影部分为正六边形；③若阴影部分和空白部分的面积相等，则k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．其中正确的说法是（　　）

• A． ①
• B． ①②
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD，即可得出答案．

解答 解：∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，
∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，
∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=2+2=4，故①正确；
∵k=1，
∴A′F=1，
∴A′M=A′F÷cos30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，MN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴MO=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴MO≠MN，
∴阴影部分不是正六边形，故此选项错误；
当k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，阴影部分和空白部分的面积不相等，故此选项错误．
故选：A．

点评 此题主要考查了菱形的性质、平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．