Question

△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，以AC为边在△ABC外作等边△ACE，连BE交AD于M；
（1）求证：MD=

1

2

BM；
（2）若AM=5，MD=2，求ME．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,角平分线的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）利用条件证明∠BMD=60°即可，利用等边三角形和等腰三角形的性质可求得∠BMD=∠AMG=∠GMC=∠EAG=60°，可证得结论；
（2）利用角平分线的性质和△MCE∽△CGE，可得到线段之间的关系，代入可求得ME．

解答：证明：（1）如图，连接CM，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD为BC垂直平分线，
∴BM=CM，
∴∠ABC=∠ACB，∠MBD=∠MCD，
∴∠ABM=∠ACM，
∵AB=AE，
∴∠ABM=∠AEB，
∴∠ACM=∠AEB，
又∵∠AGE=∠CGM，
∴∠EMC=∠EAC=60°，
又∵∠EMC=∠MBC+∠MCB，
∴∠MBC=30°，
∴MD=

1

2

BM；
（2）∵∠AME=∠BMD=60°=∠CME，
∴MG是△AMC的角平分线，
∴

AG

CG

=

AM

MC

=

5

4

，
∴CG=

4

9

AC，
∵△MCE∽△CGE，
∴

CG

CM

=

CE

ME

，
∴ME=

CE•CM

CG

=

4AC

4 9 AC

=9．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及等腰、等边三角形的性质，在（1）中证得∠BMD=60°是解题的关键，在（2）中利用角平分线的性质定理是解题的关键．