Question

如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第一个菱形ACC₁D₁，使∠D₁ AC=60°；连结AC₁，再以AC₁为边作第二个菱形AC₁C₂D₂，使∠D₂AC₁=60°；…，再以AC₂为边作第三个菱形AC₂C₃D₃，使∠D₃AC₂=60°；…，依此类推．
（1）求第一个菱形ACC₁D₁的边AD₁长是多少？请说明理由．
（2）求第三个菱形AC₂C₃D₃的边AD₃长是多少？请说明理由．
（3）按此规律请直接写出第n个菱形的边长．

Answer 1

分析：（1）连接BD，与AC相交于O，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AC=2AO，对角线平分一组对角可得∠BAC=30°，然后解直角三角形求出AO，即可得到第一个菱形的边长；
（2）同理求出第二个菱形的边长，第三个菱形的边长；
（3）根据求解，后一个菱形的边长是前一个菱形的对角线，即后一个菱形的边长是前一个菱形的边长的

3

倍，写出即可．

解答：解：（1）如图，连接BD，与AC相交于O，
则AC⊥BD，AC=2AO，
∵∠DAB=60°，
∴∠BAC=

1

2

∠DAB=

1

2

×60°=30°，
∵AB=1，
∴AO=1×

3

2

=

3

2

，
∴AC=2AO=2×

3

2

=

3

，
故第一个菱形ACC₁D₁的边AD₁长是

3

；

（2）同理可求，第二个菱形AC₁C₂D₂的边AD₂长是

3

×

3

=3，
第三个菱形AC₂C₃D₃的边AD₃长是3

3

；

（3）第n个菱形的边长是（

3

）ⁿ．

点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，对角线平分一组对角的性质，熟记性质并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．