Question

9．在?ABCD中，以AB为直径的⊙O交CD于M，交AD于E，且AM平分∠BAD，连接BE交AM于F，若AD=5，AM=8，则MF的长为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 首先连接OM，易得AD∥OM，由平行四边形的性质，可求得AB=10，由圆周角定理，可得∠AEB=∠AMB=90°，∠EAF=∠EBM=∠BAM，然后由三角函数的性质，求得答案．

解答 解：连接OM，
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠OMA，
∵AM平分∠BAD，
∴∠DAM=∠∠OAM，
∴∠DAM=∠OMA，
∴AD∥OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴四边形OADM是平行四边形，
∴OM=AD=5，
∴AB=10，
∵AB是直径，
∴∠AMB=∠AEB=90°，
∴BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=6，
∴∠MBE=∠DAM=∠BAM，
∴tan∠MBE=$\frac{MF}{MB}$，tan∠BAM=$\frac{BM}{AM}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴MF=$\frac{3}{4}$BM=$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．