Question

17．如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点M在AB上，且AM=2$\sqrt{2}$，点P在射线AC上，线段PM绕着点P旋转60°得线段PQ，且点Q恰好在直线AB上，则AP的长为6$\sqrt{3}$-6或6-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由点P在射线AC上，线段PM绕点P旋转60°得到线段PQ，可得△PMQ是等边三角形，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：如图，∵点P在射线AC上，线段PM绕着点P旋转60°得线段PQ，
∴PM=PQ，∠MPQ=60°，
∴△PMQ是等边三角形，
过P作PD⊥AB于D，
∵在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，
∴∠A=45°，
∴AD₁=P₁D₁，MD₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$P₁D₁，
∵AM=2$\sqrt{2}$，
∴P₁D₁+$\frac{\sqrt{3}}{3}$P₁D₁=2$\sqrt{2}$，
∴P₁D₁=3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$，
∴AP₁=$\sqrt{2}$P₁D₁=6$\sqrt{3}$-6；
同理AD₂=P₂D₂，
∵MD₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$P₂D₂，
∴2$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$P₂D₂=P₂D₂，
∴P₂D₂=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
∴AP₂=$\sqrt{2}$P₂D₂=6-2$\sqrt{3}$，
综上所述，AP的长为6$\sqrt{3}$-6或6-2$\sqrt{3}$，
故答案为：6$\sqrt{3}$-6或6-2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了旋转的性质，锐角三角函数的定义、等边三角形的判定与性质、注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解此题的关键．