Question

1．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=4$\sqrt{3}$，点E是BC的中点，点F在AB上，FB=2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE=30°时，FP的长为4或8或4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心画⊙O交CD于P₃．只要证明∠EP₁F=∠FP₂F=∠FP₃E=30°，即可推出FP₁=4，FP₂=8，FP₃=4$\sqrt{3}$解决问题．

解答 解：如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心画⊙O交CD于P₃．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∵BF=2，BE=2$\sqrt{3}$，AF=4，AD=4$\sqrt{3}$，
∴tan∠FEB=tan∠ADF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ADF=∠FEB=30°，
易知EF=OF=OD=4，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EP₁F=∠FP₂F=∠FP₃E=30°，
∴FP₁=4，FP₂=8，FP₃=4$\sqrt{3}$，
故答案为4或8或4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．