Question

3．已知直线y=kx+b（k≠0）过点（1，2）
（1）填空：b=2-k（用含k代数式表示）；
（2）将此直线向下平移2个单位，设平移后的直线交x于点A，交y于点B，x轴上另有点C（1+k，0），使得△ABC的面积为2，求k值；
（3）当1≤x≤3，函数值y总大于零，求k取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点（1，2）代入y=kx+b（k≠0），得出k+b=2，即b=2-k；
（2）把b=2-k代入y=kx+b，得y=kx+2-k，根据上加下减的平移规律得出向下平移2个单位所得直线的解析式为y=kx-k，求出A（1，0），B（0，-k），根据△ABC的面积为2列出方程$\frac{1}{2}$k²=2，解方程即可；
（3）依题意，分两种情况讨论：ⅰ）当k＞0时，y随x增大而增大，得出k+2-k=2＞0；ⅱ）当k＜0时，y随x增大而减小，得出3k+2-k=2k+2＞0；分别解不等式即可．

解答 解：（1）∵直线y=kx+b（k≠0）过点（1，2），
∴k+b=2，
∴b=2-k．
故答案为2-k；

（2）由（1）可得y=kx+2-k，
向下平移2个单位所得直线的解析式为y=kx-k，
令x=0，得y=-k，令y=0，得x=1，
∴A（1，0），B（0，-k），
∵C（1+k，0），
∴AC=|1+k-1|=|k|，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•|y_B|=$\frac{1}{2}$|k|•|-k|=$\frac{1}{2}$k²，
∴$\frac{1}{2}$k²=2，解得k=±2；

（3）依题意，当自变量x在1≤x≤3变化时，函数值y的最小值大于0．
分两种情况：
ⅰ）当k＞0时，y随x增大而增大，
∴当x=1时，y有最小值，最小值为k+2-k=2＞0，
∴当 k＞0时，函数值总大于0；
ⅱ）当k＜0时，y随x增大而减小，
∴当x=3时，y有最小值，最小值为3k+2-k=2k+2，
由2k+2＞0得k＞-1，
∴-1＜k＜0．
综上，当k＞0或-1＜k＜0时，函数值y总大于0．

点评 本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数的性质．难度适中．