Question

14．如图，正方形ABCD中，AB=4，点H在CD边上，且CH=1，点E绕点B旋转，同时，以CE为边在BC上方作正方形CEFG，在点E运动过程中，当线段FH取得最小值时，∠CBE的正切为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{7}$
• D． $\frac{1}{7}$

Answer 1

分析 先根据△ACF∽△BCE，确定点F的运动路径为以A为圆心，以$\sqrt{2}$BE长为半径的圆，再连接AF，FH，AH，根据AH≤AF+FH，而AH和AF的长度不变，可得当点F在线段AH上时，FH=AH-AF（最短），过H作HQ⊥AC于Q，求得HQ和AQ的长，即可得到tan∠CBE=tan∠QAH=$\frac{HQ}{AQ}$=$\frac{1}{7}$，进而得出∠CBE的正切值．

解答 解：如图所示，点E绕点B旋转时，其路径为以B为圆心，BE长为半径的圆，
连接AC，AF，FC，则∠ACB=∠FCE=45°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵AC=$\sqrt{2}$BC，FC=$\sqrt{2}$CE，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{FC}{EC}$=$\sqrt{2}$，
∴△ACF∽△BCE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{2}$，
即AF=$\sqrt{2}$BE，
∴点E绕点B旋转时，点F的运动路径为以A为圆心，以$\sqrt{2}$BE长为半径的圆，
连接AF，FH，AH，
∵AH≤AF+FH，而AH和AF的长度不变，
∴当点F在线段AH上时，FH=AH-AF（最短），
此时，由相似三角形的性质可得∠CBE=∠CAH，
过H作HQ⊥AC于Q，则△CHQ是等腰直角三角形，
∵CH=1，
∴HQ=CQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵等腰Rt△ABC中，AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
∴AQ=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$，
∴tan∠CBE=tan∠QAH=$\frac{HQ}{AQ}$=$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{7}{2}\sqrt{2}}$=$\frac{1}{7}$，即∠CBE的正切值为$\frac{1}{7}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例得到点F的运动轨迹．解题时注意：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．