Question

17．为判断命题“有三条边相等且一组对角相等的四边形是菱形”的真假，数学课上，老师给出菱形ABCD，并作出了一个四边形ABC′D，具体作图过程如下：如图，在菱形ABCD中，
①连接BD，以点B为圆心，以BD的长为半径作圆弧，交CD于点P；
②分别以B、D为圆心，以BC、PC的长为半径作圆弧，两弧交于点C′；
③连接BC′、DC′，得四边形ABC′D．
依据上述作图过程，解决以下问题：
求证：∠A=∠C′；AD=BC′．

Answer 1

分析 连接BP，由菱形的性质得出AD=BC，∠A=∠BCD，根据题意得出BC=B′C，BD=BP，DC′=PC，得出AD=BC′，由SSS证明△BPC≌△BDC′，得出对应角相等∠BCD=∠C′，即可得出∠A=∠C′．

解答 证明：连接BP，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，∠A=∠BCD，
根据题意得：BC=B′C，BD=BP，DC′=PC，
∴AD=BC′，
在△BPC和△BDC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC′}&{\;}\\{BP=BD}&{\;}\\{PC=DC′}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△BDC′（SSS），
∴∠BCD=∠C′，
∴∠A=∠C′．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．