Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AO、GO分别平分∠BAC和∠ACB，OD⊥AC于D．若AB=10，BC=8，试求线段OD的长度．

Answer 1

考点：角平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：连接OB，过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，求出OE=OD=OF，设OD=OE=OF=R，根据勾股定理求出AC长，根据三角形的面积得出S_△ABC=S_△ABO+S_△ACO+S_△BCO，代入求出R即可．

解答：解：连接OB，过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，OE⊥AB，OF⊥BC，OD⊥AC，
∴OE=OD=OF，
设OE=OF=OD=R，
在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，由勾股定理得：AC=6，
∵S_△ABC=S_△ABO+S_△ACO+S_△BCO，
∴

1

2

AC×BC=

1

2

AB×OE+

1

2

AC×OD+

1

2

BC×OF，
∴6×8=6R+8R+10R，
解得：OD=R=2．
∴OD的长为2．

点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的应用，关键是得出关于R的一元一次方程，题目比较典型，主要培养学生的计算能力．