Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，延长AB到D，使得AD=BC，连结CD，求∠D的度数．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：在CA的延长线上取点E，连接DE，使DE=AD，过D作DF∥BC，使DF=BC，连接CF、EF．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得∠DAE=2∠ABC=80°．
进而求得∠ADE=20°，根据平行线的性质求得∠ADF=∠ABC=40°，即可求得∠EDF=∠ADE+∠ADF=60°，进而证得△DEF是等边三角形，得出，∠DEF=60°进而得出∠FEC=∠DEA-∠DEF=20°，然后根据平行四边形的性质求得∠ECF=∠DAE=80°，根据三角形内角和求得EFC=180°-∠FEC-∠ECF=80°，得出∠EFC=∠ECF，得出EF=EC，EC=ED，求得∠EDC=

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（180°-∠DEA）=50°，即可求得∠ABD=∠EDC-∠EDA=30°．

解答：解：在CA的延长线上取点E，连接DE，使DE=AD，过D作DF∥BC，使DF=BC，连接CF、EF．
∵AB=AC，∠ABC=40°．
∴∠DAE=2∠ABC=80°．
∵AD=DE．
∴∠DEA=∠DAE=80°，∠ADE=20°，
∵DF∥BC，DF=BC．
∴∠ADF=∠ABC=40°．
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=60°，
∵DE=AD，AD=BC．
∴DE=DF．
∴△DEF是等边三角形．
∴EF=DF，∠DEF=60°．
∴∠FEC=∠DEA-∠DEF=20°．
∵DF∥BC，DF=BC．
∴四边形CFDB是平行四边形，
∴AD∥FC．
∴∠ECF=∠DAE=80°．
∴∠EFC=180°-∠FEC-∠ECF=180°-20°-80°=80°．
∴∠EFC=∠ECF．
∴EF=EC
∴EC=ED．
∵∠DEA=80°
∴∠EDC=

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（180°-∠DEA）=50°．
∴∠ABD=∠EDC-∠EDA=50°-20°=30°．

点评：本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，作出辅助线构建等边三角形和平行四边形是本题的关键．