Question

19．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=14cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与点B、C重合），连接AP，过点P作射线PE交线段DC于点E，使得∠APE=∠B，若DE：EC=5：3，则BP=2cm或12cm．

Answer 1

分析 作AF⊥BC于F，∠B=60°，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根据∠B的度数及BF的长可求得AB的值，由DE：EC=5：3时，求出DE、CE的值．由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP，可证△ABP∽△PCE，设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，求出BP的长．

解答 解：如图，过A作AF⊥BC于F；
∵等腰梯形ABCD中，AD=6cm，BC=14cm，
∴BF=4
∵Rt△ABF中，∠B=60°，BF=4；
∴AB=CD=8cm，
∵DEDE：EC=5：3，
∴EC=3，
由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；
∵∠B=∠APE
∴∠EPC=∠BAP
∵∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{EC}$，
设BP=x，则PC=14-x，
∴$\frac{8}{14-x}=\frac{x}{3}$，
解得：x₁=2，x₂=12，
∴BP的长为2cm或12cm．
故答案为：2cm或12cm．

点评 本题主要考查了等腰梯形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握梯形辅助线的作法以及数形结合思想与方程思想的应用是解题的基础，利用相似列比例式是解决问题的关键．