Question

14．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于E，交BC的延长线于F，求证：AE•CF=BF•EC．

Answer 1

分析 过C作CG∥AB交DF于G，于是得到△GCF∽△DBF，△GCE∽△ADE，得到$\frac{CF}{BF}=\frac{CG}{BD}$，$\frac{EC}{AE}=\frac{CG}{AD}$，通过等量代换即可得到结论．

解答 证明：过C作CG∥AB交DF于G，
∴△GCF∽△DBF，△GCE∽△ADE，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{CG}{BD}$，$\frac{EC}{AE}=\frac{CG}{AD}$，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{CE}{AE}$，
∴AE•CF=BF•EC．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形．