Question

14．已知关于x的一元二次方程x²-kx+5=0与x²+5x-k=0只有一个公共的实根，求关于x的方程|x²+kx|=|k|所有的实根之和．

Answer 1

分析 设一元二次方程x²-kx+5=0与x²+5x-k=0的公共根为t，根据方程解的定义得到t²-kt+5=0与t²+5t-k=0，两方程相减得到（k+5）t=k+5，则t=1，然后把t=1代入x²-kx+5=0得k=6，则|x²+6x|=6，再分类讨论：得出方程x²+6x=6或x²+6x=-6，求出答案即可．

解答 解：设一元二次方程x²-kx+5=0与x²+5x-k=0的公共根为t，
根据题意得t²-kt+5=0与t²+5t-k=0，
∴（k+5）t=k+5，
∵t有唯一的值，
∴k+5≠0，
∴t=1，
把t=1代入x²-kx+5=0得1-k+5=0，解得k=6，
∴|x²+6x|=6，
∴x²+6x=6或x²+6x=-6，
方程x²+6x=6的两根之和为-6，方程x²+6x=-6的两根之和为-6，
∴方程|x²+kx|=|k|所有的实根之和为-12．

点评 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了根与系数的关系．