题目内容
6．如图，在Rt△ABC中，∠B=Rt∠，直角边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为$\sqrt{10}$时运动时间t的值；
（3）点P在运动的过程中，是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）解方程x2-7x+12=0，即可求出AB与BC的长；
（2）由题意列出方程${3^2}+{（t-3）^2}=\sqrt{10}$，解方程即可得出结论；
（3）存在点P，使△ABP是等腰三角形，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质分三种情况讨论，求出t的值即可．
解答 解：（1）∵x2-7x+12=（x-3）（x-4）=0，
∴x1=3或x2=4．
则AB=3，BC=4，
（2）由题意得${3^2}+{（t-3）^2}=\sqrt{10}$，
∴t1=4，t2=2（舍去）
则t=4时，AP=$\sqrt{10}$，
（3）存在点P，使△ABP是等腰三角形．
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，根据勾股定理得，AC=5，
①当AP=AB=3时，如图1，
，
∴PC=AC-AP=5-3=2，
∴点P运动路程是AB+BC+PC=3+4+2=9，
∴t=9（秒）．
②当BP=BA=3时，如图2，
当P在AC上时，
过点B作BD⊥AC于D，
根据△ABC的面积得，$\frac{1}{2}$BD•AC=$\frac{1}{2}$AB•BC，
∴BD=$\frac{12}{5}$
在Rt△ABD中，AB=3，BD=$\frac{12}{5}$，
根据勾股定理得，AD=$\frac{9}{5}$，
∴PC=AC-2AD=$\frac{7}{5}$，
∴点P运动的路程为AB+BC+PC=3+4+$\frac{7}{5}$=$\frac{42}{5}$，
∴t=$\frac{42}{5}$（秒）
当P在BC上时，如图3，
，
∴点P运动的路程为AB+BP=3+3=6，
∴t=6（秒）
③当BP=AP （即P为AC中点时），
∴t=9.5（秒）
可知当t为9秒或9.5秒或6（秒）或$\frac{42}{5}$（秒）时，△ABP是等腰三角形．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程的方法，解（1）的关键是掌握一元二次方程的解法，解（2）的关键是建立方程求解，解（3）的关键是分类讨论．
| A． | 直角三角形 | B． | 等边三角形 | C． | 等腰三角形 | D． | 等腰直角三角形 |
如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，D为AC上的一点，AD=2CD，AE⊥AB交BD的延长线于E，则$\frac{DE}{DB}$=$\frac{1}{2}$．
如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=$\sqrt{2}$；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=$\sqrt{3}$；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，若△OPnPn+1的面积大于6时，n至少是144．
如图，已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：DF=BE．
如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=$\frac{k}{x}$与直线y=-x-（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B且S△ABO=$\frac{3}{2}$．