Question

1．如图，在矩形OABC中，OA=2OC，顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为（8，6）．
（1）顶点C的坐标为（-3，4），顶点B的坐标为（5，10）；
（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒2个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位．当运动时间为2秒时，以点P、Q、C顶点的三角形是等腰三角形，求k的值；
（3）若矩形OABC以每秒$\frac{5}{3}$个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点A到达坐标原点时停止下滑．设矩形OABC在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1所示：连接AC、OB，过点C作CE⊥x轴，AD⊥x轴．先证明△COE∽△OAD．由相似三角形的性质可求得CE=3，OE=4，从而可求得点C的坐标，接下来由矩形的性质可证明点F为AC、OB的中点，最后依据中点坐标公式可求得点B的坐标；
（2）当PQ=CQ时，过点Q作QD⊥CP，垂足为D．由等腰三角形三线合一的性质可求得CD=2，然后再证明四边形CDQO为矩形，从而可求得AQ的长，最后依据速度=路程÷时间求得k的值；当CP=CQ时，可求得OQ+OA=11，最后依据速度=路程÷时间求得k的值；
（3）如图4所示：当0≤t≤4时．由tan∠FOO′=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$．可求得FO′=$\frac{5}{4}$t，最后依据三角形的面积公式可求得S与t的函数关系式；如图5所示：当4≤t≤6时．过点C′作C′E∥DO．由tan∠C′EO′=$\frac{3}{4}$，O′C′=5，可求得C′D=OE=$\frac{5}{3}$t-$\frac{20}{3}$．最后依据梯形的面积公式可求得S与t的函数关系式．

解答 解：（1）如图1所示：连接AC、OB，过点C作CE⊥x轴，AD⊥x轴．

∵A（8，6），
∴AD=6，OD=8．
∵CE⊥x轴，AD⊥x轴，
∴∠CEO=∠ADO．
∵ABCO为矩形，
∴∠COA=90°，
∴∠COE+∠AOD=90°．
∵∠COE+∠OCE=90°，
∴∠OCE=∠AOD．
∴△COE∽△OAD．
∴$\frac{CE}{OD}=\frac{OE}{AD}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$，即$\frac{CE}{6}=\frac{OE}{8}=\frac{1}{2}$．
∴CE=3，OE=4．
∴C（-3，4）．
∵ABCO为矩形，
∴F为AC、OB的中点．
设点B的坐标为（x，y）．则$\frac{x+0}{2}=\frac{-3+8}{2}$，$\frac{y+0}{2}=\frac{4+6}{2}$，解得：x=5，y=10．
∴点B的坐标为（5，10）．
故答案为：C（-3，4）；B（5，10）．
（2）∵由两点间的距离公式可知：OA=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=5．
∵PC=4，
∴PQ＞PC．
如图2所示：当PQ=CQ时，过点Q作QD⊥CP，垂足为D．

∵PQ=CQ，QD⊥CP，
∴CD=DP=2．
∵∠OCD=∠COQ=∠QDC=90°，
∴四边形CDQO为矩形．
∴OQ=CD=2．
∴AQ=10-2=8．
∴k=$\frac{8}{2}$=4．
如图3所示：当CP=CQ时，OQ+OA=10+1=11．

则k=$\frac{11}{2}$．
综上所述，当k=4或k=$\frac{11}{2}$时，△CQP为等腰三角形．
（3）如图4所示：当0≤t≤4时．

∵∠FOO′=∠AOD，
∴tan∠FOO′=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$．
又∵OO′=$\frac{5}{3}$t，
∴FO′=$\frac{5}{4}$t．
∴S=$\frac{1}{2}$OF•O′F=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$t•$\frac{5}{3}$t=$\frac{25}{24}$t²．
如图5所示：当4≤t≤6时．过点C′作C′E∥DO．

∵tan∠C′EO′=$\frac{3}{4}$，O′C′=5，
∴O′E=$\frac{20}{3}$．
∴C′D=OE=$\frac{5}{3}$t-$\frac{20}{3}$．
∴S=$\frac{1}{2}$O′C′（C′D+O′E）=$\frac{1}{2}$×5×[2×（$\frac{5}{3}$t-$\frac{20}{3}$）+$\frac{20}{3}$]=$\frac{25t}{3}$-$\frac{50}{3}$．
综上所述，S与t的关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{25}{24}{t}^{2}（0≤t≤4）}\\{\frac{25}{3}t-\frac{50}{3}（4≤t≤6）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查的是四边形、三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，分类讨论是解答问题（2）的关键，依据锐角三角函数的定义求得OO′、O′F、C′D的长度（用含t的式子表示）是解题的关键．