Question

19．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．若BC=2$\sqrt{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 首先证明OE=OF，再连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．

解答 解：
在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠FCO}\\{∠AOE=∠COF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∵BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2BC=4$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=6．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．