Question

如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y₁和过P、A两点的二次函数y₂的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D，当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于________．

Answer 1

分析：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出=，=，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
解答：解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA=OA=2，
由勾股定理得：DE==，
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴=，=，
∵AM=PM=（OA-OP）=（4-2x）=2-x，
即=，=，
解得：BF=x，CM=-x，
∴BF+CM=．
故答案为：
点评：此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．