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精英家教网如图,已知点A、B、C、D均在已知圆上,AD∥BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°,四边形ABCD的周长为10cm.图中阴影部分的面积为(  )
A、
3
2
B、
3
-
3
C、2
3
D、4
3
分析:由AD∥BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°,得到∠1=∠2=∠3=30°,∠B=60°,于是有AB=AD=DC,且∠BAC=90°,得到BC为直径,设圆心为O,AB=x,则BC=2AB=2x,∠4=2∠1=60°,然后利用四边形ABCD的周长为10cm,可求出半径;而S阴影部分=S扇形OAD-S△OAD,利用扇形的面积公式:S=
R2
360
和等边三角形的面积分别计算它们的面积即可.
解答:精英家教网解:如图,
∵AC平分∠BCD,
∴∠1=∠2,
又∵AD∥BC,
∴∠1=∠2=∠3,
而∠ADC=120°,
∴∠1=∠2=∠3=30°,∠B=60°,
∴AB=AD=DC,且∠BAC=90°,
∴BC为直径,设圆心为O,AB=x,则BC=2AB=2x,∠4=2∠1=60°,
又∵四边形ABCD的周长为10cm,
∴x+x+x+2x=10,解得x=2,即⊙O的半径为2,
连OA,OD,
∴S阴影部分=S扇形OAD-S△OAD=
60π×4
360
-
3
4
×22=
3
-
3

故选B.
点评:本题考查了扇形的面积公式:S=
R2
360
,其中n为扇形的圆心角的度数,R为圆的半径),或S=
1
2
lR,l为扇形的弧长,R为半径.同时考查了圆周角定理及其推论以及等边三角形的面积.
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