Question

6．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AP∥BC，且CP=BC交AB于点E，求证：BP=BE．

Answer 1

分析 作AF⊥BC于F，PG⊥BC于G．根据等腰三角形的性质可证得AF=$\frac{1}{2}$BC，由矩形的性质得到PG=AF=$\frac{1}{2}$BC，于是得到PG=$\frac{1}{2}$PC，从而推出∠PCB=30°，由三角形内角求得∠BPC=75°，由∠PEB=∠PCB+∠EBC=75°，即∠PEB=∠PCB，有等腰三角形的性质即可求得结论．

解答 证明：作AF⊥BC于F，PG⊥BC于G．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AF为BC上的中线．（等腰三角形“三线合一“）
∴AF=$\frac{1}{2}$BC，
又AP∥BC，
∴PG=AF=$\frac{1}{2}$BC，
又PC=BC，
∴PG=$\frac{1}{2}$PC，
∴∠PCB=30°，
∴∠BPC=$\frac{1}{2}$（180°-∠PCB）=75°，
又∠PEB=∠PCB+∠EBC=75°，
∴∠PEB=∠PCB，
∴PB=BE．

点评 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，含30°直角三角形的判定，三角形内角和定理，熟练应用等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．