Question

4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2交x轴于点A，交y轴于点B，C是OA的中点，D为线段AB上一点，且∠ACD=∠BCO．
（1）求BC的长；
（2）作直线CD交y轴于点E．
①求直线CD的解析式及点D的坐标；
②连结OD，求证：OD+CD=BC．
（3）P为x轴上一点，且到直线CD的距离等于BC长，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B两点坐标，根据勾股定理即可解决问题．
（2）①首先证明△BCE是等腰三角形，求出直线CD的解析式，列方程组即可求出点D坐标．
②求出OD、CD的长即可解决问题．
（3）如图，作P₁M⊥CD于M，设P₁（m，0）．由△P₁MC∽△BOC，得$\frac{{P}_{1}M}{OB}$=$\frac{{P}_{1}C}{BC}$，列出方程求出m，可得P₁坐标，再根据对称性求出点P₂坐标即可．

解答 解：（1）∵直线y=-x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（2，0），B（0，2），
∵C是OA中点，OA=BO=2，
∴OC=AC=1，
在Rt△BCO中，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

（2）①∵∠DCA=∠BCO，∠DCA=∠ECO，
∴∠OCB=∠OCE，
∵∠OCB+∠OBC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠OBC=∠OEC，
∴BC=EC，OB=OE=2，
∴E（0，-2），∵C（1，0），
∴直线CD的解析式为y=2x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴点D坐标（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

②∵D（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），C（1，0），
∴OD=$\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．CD=$\sqrt{（\frac{4}{3}-1）^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴OD+CD=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$+$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\sqrt{5}$，
∵BC=$\sqrt{5}$，
∴CD+OD=BC．

（3）如图，作P₁M⊥CD于M，设P₁（M，0）．

∵∠BOC=∠CMP₁=90°，∠MCP₁=∠BCO，
∴△P₁MC∽△BOC，
∴$\frac{{P}_{1}M}{OB}$=$\frac{{P}_{1}C}{BC}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{m-1}{\sqrt{5}}$，
∴m=$\frac{7}{2}$，
∴P₁（$\frac{7}{2}$，0），
根据对称性，P₂与P₁关于点C对称时，点P₂到直线CD的距离为$\sqrt{5}$，
∴P₂（-$\frac{3}{2}$，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（$\frac{7}{2}$，0）或（-$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．