Question

抛物线y=x²-2x-15，y=4x-23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　）

• A、10

  5

• B、7

  10

• C、5

  21

• D、8

  10

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=1的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=1的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．

解答：解：如图
∵抛物线y=x²-2x-15与直线y=4x-23交于A、B两点，
∴x²-2x-15=4x-23，
解得：x=2或x=4，
当x=2时，y=4x-23=-15，
当x=4时，y=4x-23=-7，
∴点A的坐标为（2，-15），点B的坐标为（4，-7），
∵抛物线对称轴方程为：x=-

b

2a

作点A关于抛物线的对称轴x=1的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，
连接A′B′，
则直线A′B′与对称轴（直线x=1）的交点是E，与x轴的交点是F，
∴BF=B′F，AE=A′E，
∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，
延长BB′，AA′相交于C，
∴A′C=4，B′C=7+15=22，
∴A′B′=

A′C2+B′C2

=10

5

．
∴点P运动的总路径的长为10

5

．
故选A．

点评：此题考查了二次函数与一次函数和二次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．