Question

16．如图，菱形ABCD的较短对角线BD为5$\sqrt{3}$，∠ADB=60°，E、F分别在AD，
CD上，且∠EBF=60°．
（1）求AE+CF的值；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由菱形ABCD中，∠ADB=60°，可证得△ABD与△CBD是等边三角形，继而可得BD=BC，证得△BDE≌△BCF，即可得AE+CF=AE+DE=AD=BD=5$\sqrt{3}$；
（2）由△BDE≌△BCF，可得BE=BF，又由∠EBF=60°，即可证得△BEF是等边三角形．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
同理：△BCD是等边三角形，
∴AD=BD=BC，∠ADB=∠C=60°，
∴∠EBF=∠DBC=60°，
∴∠EBD=∠FBC，
在△DEB和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠FBC}\\{BD=BC}\\{∠BDE=∠C}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△CFB（ASA），
∴DE=CF，
∴AE+CF=AE+DE=AD=BD=5$\sqrt{3}$；

（2）△BEF是等边三角形，
理由：∵△EDB≌△FCB，
∴BE=BF，
∵∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形．

点评 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABD与△CBD是等边三角形，继而证得△BDE≌△BCF是关键．