Question

4．如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C，点D为AP的中点，连结AC．
求证：（1）∠P=∠BAC
（2）直线CD是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）要证明∠P=∠BAC，只要证明∠CAP+∠BAC=∠P+∠CAP即可，根据题目中的条件可以证明它们相等，从而可以解答本题；
（2）要证明直线CD是⊙O的切线，只要证明∠OCD=90°即可，根据题目中的条件和（1）中的结论可以证明∠OCD=90°，从而可以解答本题．

解答 证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACP=90°，
∴∠P+∠CAP=90°，
∵AP⊙O是切线，
∴∠BAP=90°，
即∠CAP+∠BAC=90°
∴∠P=∠BAC；        

（2）∵CD是Rt△PAC斜边PA的中线，
∴CD=AD，
∴∠DCA=∠DAC，
连接OC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DCO=∠DAO=90°，
∴CD是⊙O的切线．

点评 本题考查切线的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．