Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以O为圆心做圆，⊙O与AC相切于点D．
（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并加以证明．
（2）在Rt△ABC中，若AC=6，AB=3，求切线AD的长．

Answer 1

考点：切线的判定,切线的性质

专题：

分析：（1）过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OD，根据角平分线的性质可得出OE=OD，继而可得出结论；
（2）根据S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC，可得出⊙O的半径，从而得出切线AD的长．

解答：证明：（1）过点O作OE⊥BA，垂足为E，连接OD，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
又∵OC为∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，
∴BA与⊙0相切；

（2）设⊙O的半径为r，
∵S_△ABC=S_△AOC+S_△BOA，
∴

1

2

AC×BA=

1

2

AC×OD+

1

2

BA×OE，
∵OE=OD=r，AC=6，AB=3，
∴r（AC+BA）=18，
即9r=18，
解得：r=2．
∵∠DAO=∠DOA=45°，
∴AD=OD=r，
即AD的长为2．

点评：本题考查了切线的判定及性质，利用等积法求圆的半径是很巧妙的方法，也比较重要，希望同学们认真掌握．