Question

7．【问题提出】
对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用四个方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形--筝形．
【定义】
有且只有两组邻边分别相等的四边形称为筝形，如图，筝形ABCD是中，AB=AD，CB=CD且AB≠BC．
【性质】
按下列分类用文字语言填写相应的性质：
从对称性看：筝形是轴对称图形，它的对称轴是其中一条对角线所在直线．
从边看：有且只有两组邻边分别相等．
从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．
【判定】
按要求用文字语言填写相应的判断方法，补全图形；
方法1：从边看，有且只有两组邻边分别相等的四边形．
方法2？从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．
已知，如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO．
求证：四边形ABCD是筝形．
证明：
【应用】
请利用筝形的定义、性质和判定解决以下问题．
（1）探索筝形ABCD的面积公式；
（2）筝形ABCD有外接圆吗？如果有，请作出他的对称轴；如果没有，请你在筝形ABCD中添加一个条件，使它有外接圆；
（3）筝形ABCD有内切圆吗？如果有，请作出它的内切圆，如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析 【性质】根据图形及定义可以得出结论；【判定】结合图形与筝形的性质，可得出判定定理；【应用】（1）拆分筝形成两个三角形即可得出结论；（2）由直径所对的圆周角为90°能够找到缺失的条件--两个直角；（3）模拟三角形内切圆的画法的步骤即可得出结论．

解答 解：【性质】
结合判定的方法一和图形，即可得出结论：
从边看：有且只有两组邻边分别相等；从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．
故答案为：两组对边都不平行；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．
【判定】
结合性质定理，可得出：方法二：从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．
结合方法二可知缺少的条件为：AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO．
故答案为：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO．
证明：按照题意，画出图形1．

∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，CB=CD．
又∵AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$，BC=$\sqrt{B{O}^{2}+C{O}^{2}}$，AO≠CO，
∴AB≠BC，
∴由筝形定义得，四边形ABCD是筝形．
【应用】
（1）筝形面积为对角线乘积的一半；
∵S_ABCD=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•AO+$\frac{1}{2}$BD•CO=$\frac{1}{2}$BD（AO+CO）=$\frac{1}{2}$BD•AC，
∴筝形面积为对角线乘积的一半．
（2）不一定有，如果∠ABC=∠ADC=90°时，则有外接圆；
∵筝形只有一组对角相等，
∴∠ABC=∠ADC．
又∵AC＞BD，
∴若筝形存在外接圆，其圆心为线段AC的中点，
∵B、D点在圆上，
∴∠ABC=∠ADC=90°．
故：不一定有，如果∠ABC=∠ADC=90°时，则有外接圆．
（3）有，作∠A和∠B的角平分线交于一点，过交点作AD的垂线，然后以交点为圆心，以垂线段为半径作圆，即为所求内切圆．
由筝形的性质可得出：$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=DC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∴CA是∠BAD的角平分线．

由AC为筝形对称轴可以得知存在内接圆．

点评 本题考查了新概念中的筝形的性质及判定，解题的关键是：读懂题意理清关系，用数学的语言合理的叙述．本题属于中档题型，难度不大，对应以前接触过筝形的同学来说本题不难，对于没接触过的同学来说有点难度，失分点是性质和判定定理的叙述，结合我们学过的知识，平行四边形、长方形和正方形的性质和判定定理，选用合适的数学语言来叙述是得分的关键，此处体现出了数学的严谨性．