Question

18．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N（参考数据；sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75，sin23.6°=0.4，cos66.4°=0.4，tan21.8°=0.4）．
（1）求M，N两村之间的距离；
（2）试问村庄N在村庄M的什么方向上？（精确到0.1度）

Answer 1

分析 （1）过点M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，继而得出MD，ND的长度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的长度．
（2）在Rt△MND中，根据tan∠NMD=$\frac{ND}{MD}$=$\frac{2}{5}$=0.4km，再根据tan21.8°=0.4，得出∠NMD=21.8°，再根据∠MND=90°-∠NMD，即可得出村庄N在村庄M的北偏东68.2°方向上．

解答 解：过点M作CD∥AB，NE⊥AB，如图：
在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5km，
∵sin36.5°=$\frac{CM}{5}$=0.6，
∴CM=3，AC=$\sqrt{A{M}^{2}-C{M}^{2}}$=4km，
在Rt△ANE中，∠NAE=90°-53.5°=36.5°，AN=10km，
∵sin36.5°=$\frac{NE}{10}$=0.6，
∴NE=6，AE=$\sqrt{A{N}^{2}-N{E}^{2}}$=8km，
∴MD=CD-CM=AE-CM=5km，ND=NE-DE=NE-AC=2km，
在Rt△MND中，MN=$\sqrt{M{D}^{2}+N{D}^{2}}$=$\sqrt{29}$（km）．

（2）在Rt△MND中，tan∠NMD=$\frac{ND}{MD}$=$\frac{2}{5}$=0.4（km），
∴∠NMD=21.8°，
∴∠MND=90°-21.8°=68.2°，
∴村庄N在村庄M的北偏东68.2°方向上．

点评 本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求解相关线段的长度，难度较大．