Question

10．某物流公司派送人员甲、乙分别从B地派送货物到A、C两地，如图，A在B的北偏东45°方向，C在B的正东方向且BC=120km．乙的速度是60km/h，甲的速度是乙速度的$\sqrt{2}$倍，甲把货物送到A地后又接到A地一批货物要送到C地，结果两人同时到达C地．
（1）∠BAC=90°；
（2）若甲乙两人间的距离为s，请写出s（km）与乙出发时间t（h）的函数表达式；并写出当t为何值时，两人间的距离最大？（注：货物交接时间忽略不计）

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，由题意求出∠ABC=45°，△ABD是等腰直角三角形，得出AB=$\sqrt{2}$BD，由甲的速度是乙速度的$\sqrt{2}$倍，得出△ACD是等腰直角三角形，∠DAC=45°，求出∠BAC=90即可；
（2）由（1）得出△ABC是等腰直角三角形，AD=BD=CD，由乙的速度求出乙到C地的时间，得出当0＜t≤1时，s=60t；当1＜t≤2时，s=120-60t；即可得出结论．

解答 解：（1）作AD⊥BC于D，如图所示：
由题意得：∠ABC=90°-45°=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BD，
∵甲的速度是乙速度的$\sqrt{2}$倍，
∴AC=$\sqrt{2}$CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°，
∴∠BAC=45°+45°=90°；
故答案为：90；
（2）由（1）得：△ABC是等腰直角三角形，AD=BD=CD，
∵乙的速度是60km/h，BC=120km，
∴120÷60=2（h），
∴当0＜t≤1时，s=60t；
当1＜t≤2时，s=120-60t；
当t=1时，s=AD=$\frac{1}{2}$BC=60，
即当t为何值时，两人间的距离最大，最大值是60km．

点评 本题考查了解直角三角形的运用-方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质；证出∠BAC=90°是解决问题的关键．