Question

直线l₁：y=kx+b过点B（5，-1）且平行于直线y=-x．
（1）求直线l₁的解析式；
（2）若直线l₂：y=2x-2与直线l₁交于点A，与y轴交于点C，求由O、A、B、C四点所构成的四边形的面积；
（3）若有一条经过原点的直线l₃，恰好平分四边形OABC的面积，试求此直线l₃的解析式．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：

分析：（1）先根据y=kx+b与直线y=2x平行求出k的值，再根据B（5，-1）求出b的值即可．
（2）先求得C的坐标，直线AB的解析式从而求得与x轴的交点D的坐标，根据四边形的面积=S_△AOD+S_△BOD+S_△OBC即可求得；
（3）根据三角形的面积求得直线l₃与直线AB的交点的纵坐标，代入直线AB的解析式求得横坐标，设直线l₃的解析式为y=kx，把交点坐标代入即可．

解答：解：由题意得，（1）∵直线y=kx+b与直线y=-x平行，
∴k=-1，
设此一次函数的解析式为：y=-x+b，
∵直线l₁：y=kx+b过点B（5，-1），
∴-1=-5+b，
解得：b=4，
∴直线l₁的解析式为：y=-x+4；
（2）解

y=-x+4 y=2x-2

得

x=2 y=2

，
∴A（2，2）；
由直线l₂：y=2x-2可知：C（0，-2），
∴直线AB为：y=-x+4，
∴直线AB与x轴的交点为D（4，0），
∴由O、A、B、C四点所构成的四边形的面积=S_△AOD+S_△BOD+S_△OBC=

1

2

OD•2+

1

2

OD•1+

1

2

OC•5=

1

2

×4×2+

1

2

×4×1+

1

2

×2×5=11；

（3）设直线l₃交直线AB于E，
∵S_△AOD=

1

2

OD•2=

1

2

×4×2=4，四边形OABC的面积=11，
∴S_△ODE=

11

2

-4=

3

2

，
设E的纵坐标为h，
∴S_△ODE=

1

2

OD•h=

3

2

，
∴h=

3

2

×2×

1

4

=

3

4

，
∴E的纵坐标为-

3

4

，
代入直线AB解析式y=-x+4，得x=

19

4

，
∵经过原点的直线l₃，
∴设直线l₃为y=kx，
∴-

3

4

=

19

4

k，解得k=-

3

19

，
∴直线l₃的解析式为y=-

3

19

x；

点评：本题考查了两直线平行时系数k的关系，四边形的面积、方程的解以及函数与坐标轴的交点的综合应用，正确求得四边形OABC的面积是关键．