Question

5．如图，已知一次函数y=-x+1的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交点A（-3，m）和B（n，-3），直线AB与x轴，y轴分别交于点C、点D．
（1）求反比例函数；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合函数图象直接写出不等式-$x+1-\frac{k}{x}＞0$的解集．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出m值，从而得出点A的坐标，再根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式；
（2）将y=0代入直线AB解析式中求出点C的坐标，再结合三角形的面积公式以及S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC即可得出结论；
（3）由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出n值，从而得出点B的坐标，再根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵点A（-3，m）在一次函数y=-x+1的图象上，
∴m=-1×（-3）+1=4，
∴A（-3，4）．
∵点A（-3，4）在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴4=$\frac{k}{-3}$，解得：k=-12，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{-12}{x}$．
（2）令y=-x+1中y=0，则x=1，
∴C（1，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$OC•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×1×[4-（-3）]=$\frac{7}{2}$．
（3）∵点B（n，-3）在一次函数y=-x+1的图象上，
∴-3=-n+1，解得：n=4，
∴B（4，-3）．
观察函数图象发现：当x＜-3或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式-$x+1-\frac{k}{x}＞0$的解集为x＜-3或0＜x＜4．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）根据S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC求出△AOB的面积；（3）根据两函数图象上下位置关系解不等式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标是关键．