Question

19．已知关于x的-元二次方程x²+（4m+1）x+2m-1=0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个根为x₁，x₂，是否存在实数m，使x₁=2x₂？

Answer 1

分析 （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可．
（2）根据根与系数的关系可知x₁+x₂=-（4m+1），结合x₁x₂=2m-1，由x₁=2x₂得到方程，求出m的值即可．

解答 （1）证明：△=（4m+1）²-4（2m-1）
=16m²+8m+1-8m+4=16m²+5＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵该方程的两个根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-（4m+1），x₁x₂=2m-1，
∵x₁=2x₂，
∴-$\frac{1}{3}$（4m+1）=$\sqrt{\frac{2m-1}{2}}$
则32m²-2m+11=0，
此方程无解．
不存在实数m，使x₁=2x₂．

点评 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．以及根与系数的关系．