Question

10．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）（x≥0）的每一个整数点，给出如下定义：如果P'（$\sqrt{|x|}$，$\sqrt{|y|}$）也是整数点，则称点P'为点P的“整根点”．例如：点（25，36）的“整根点”为点（5，6）．
（1）点A（4，8），B（0，16），C（25，-9）的整根点是否存在，若存在请写出整根点的坐标B′（0，4），C′（5，3）；
（2）如果点M对应的整根点M'的坐标为（2，3），则点M的坐标M（4，9）或M（4，-9）；
（3）在坐标系内有一开口朝下的二次函数y=ax²+4x（a≠0），如果在第一象限内的二次函数图象内部（不在图象上），若存在整根点的点只有三个，请求出实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）、（2）根据“整根点”的定义进行解答；
（3）需要分类讨论：①当图象经过（4，4）时，如图：根据轴对称性，此时恰有1个整根点在图象上，2个整根点在图象内部，将其代入函数解析式即可求得a的值；
②当图象过（4，9）时，代入表达式得：9=16a+16，求得a的值．
综合①②即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）A不存在整根点；
因为B′（$\sqrt{|0|}$，$\sqrt{|16|}$）即（0，4）也是整数点，
所以B点的整根点坐标是B′（0，4）．
同理C点的整根点坐标是C′（5，3）．
故答案是：B′（0，4），C′（5，3）；  

（2）设M（x，y）（x≥0）依题意得：M'（$\sqrt{|x|}$，$\sqrt{|y|}$），
∵M'（2，3），
∴M（4，9）或M（4，-9）；
故答案是：M（4，9）或M（4，-9）；

（3）由于图象开口向下，根据表达式特点及对称轴所在位置的变化，将分为以下两种情况进行讨论：
当图象经过（4，4）时，如图：根据轴对称性，此时恰有1个整根点在图象上，2个整根点在图象内部
因此：代入表达式得：4=16a+16
解得a=$-\frac{3}{4}$；
当图象过（4，9）时，代入表达式得：9=16a+16
解得a=$-\frac{7}{16}$
根据图象的轴对称性可以验证（1，4）（9，1）都不在图象内部，
因此此时有3个整根点在图象内部；
综合上述分析当$-\frac{3}{4}＜a≤-\frac{7}{16}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征等知识点；解本题的关键是理解“整根点”的定义．