Question

1．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD、BC于F、G，延长BA交圆于E．
（1）求证：EF=FG；
（2）当∠ADC为多少度时，四边形GCDF能成为平行四边形？为什么？

Answer 1

分析 （1）连接AG，由AB=AG，推出∠ABG=∠AGB，根据平行线性质推出∠EAF=∠ABG，∠FAG=∠AGB，推出∠EAF=∠FAG即可；
（2）证明△ABG和△AFG是等边三角形，得出AF=BG，证出DF=CG，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接AG，
∵A为圆心，
∴AB=AG，
∴∠ABG=∠AGB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AGB=∠DAG，∠EAD=∠ABG，
∴∠DAG=∠EAD，
∴$\widehat{EF}=\widehat{FG}$，
∴EF=FG．
（2）解：当∠ADC为60°时，四边形GCDF能成为平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=60°，
∴∠B=60°，∠BAD=120°，AD=BC，AD∥BC，
∵AB=AG，
∴△ABG是等边三角形，
∴∠BAG=60°，BG=AG，
∴∠DAG=120°-60°=60°，
∵AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AF=AG，
∴AF=BG，
∴DF=CG，
又∵DF∥CG，
∴四边形GCDF为平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形性质与判定，平行线性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质与判定是解决问题的关键．